Hukum Logika 1847-1854 | Aljabar Boolean dan Teori De Morgan

Dua teori logika yang saling melengkapi dari dua matematikawan inggris yang hidup pada abad ke-19, George Boole penemu Boolean Logic/Boolean Algebra (Logika Boolean/Aljabar Boolean), dan Augustus De Morgan penemu Hukum DeMorgan (De Morgan's laws). Dilansir dari britannica.com  George Boole menerbitkan dua karya utama yang tertuang dalam buku, The Mathematical Analysis of Logic pada tahun 1847 dan Buku The Laws of Thought pada tahun 1854, dimana buku keduanya itu memiliki pengaruh besar pada pemikiran orang-orang sezamannya dan pada sejarah logika.

Analisis Matematika Logika muncul sebagai hasil dari dua aliran pengaruh yang luas. Yang pertama adalah tradisi buku teks-logika Bahasa Inggris. Yang kedua adalah pertumbuhan pesat pada awal abad ke-19 dari diskusi aljabar yang canggih dan antisipasi aljabar yang tidak standar. Matematikawan Inggris D.F.Gregory dan George Peacock adalah tokoh utama dalam apresiasi teoretis aljabar ini. Konsepsi semacam itu berangsur-angsur berkembang menjadi aljabar abstrak “tidak standar” seperti angka empat, vektor, aljabar linier, dan aljabar Boolean itu sendiri.

Pada 1854 George Boole menggunakan huruf kapital untuk mendukung perpanjangan kelas/istilah, antaralain:
  • Istilah  "benda" tetapi tidak harus dipahami sebagai perangkat modern. 
  • Istilah  universal yang ia sebut “Alam Semesta” diwakili oleh angka “1,” dan kelas nol oleh “0.” 
  • Penjajaran istilah (misalnya, “AB”) menciptakan istilah yang mengacu pada persimpangan dua kelas atau istilah. 
  • Tanda tambahan menandakan kelompok kerja yang tidak tumpang tindih; misal, “A + B” mengacu pada entitas di A atau di B; dalam kasus di mana ekstensi istilah A dan B tumpang tindih, ungkapan dianggap "tidak terdefinisi."
Untuk menunjuk sub-kelas yang tepat dari suatu kelas, George Boole menggunakan notasi "v," misalnya dengan menulis "vA" untuk menunjukkan beberapa kelas. Akhirnya, ia menggunakan pengurangan untuk menunjukkan penghapusan istilah dari kelas. Sebagai contoh, "1 - x" akan menunjukkan apa yang akan diperoleh seseorang dengan menghilangkan unsur-unsur x dari kelas universal yaitu, memperoleh pelengkap x (relatif terhadap alam semesta, 1).

Persamaan dasar termasuk: 1A = A, 0A = 0, A + 0 = 0, A + 1 = 1 (tetapi hanya di mana A = 0), A + B = B + A, AB = BA, AA = A (tetapi tidak A + A = A), (AB) C = A (BC), dan hukum distribusi, A (B + C) = AB + AC dan A + (BC) = (A + B) (A + C). Boole menawarkan presentasi yang relatif sistematis, tetapi tidak aksiomatis. Untuk pernyataan afirmatif universal seperti "Semua A adalah B," Boole menggunakan tiga notasi alternatif (lihat ilustrasi): AB = B (agak dengan cara Leibniz), A (1 - B) = 0, atau A = vB ( kelas A sama dengan beberapa subkelas B yang tepat). Interpretasi pertama dan kedua memungkinkan seseorang untuk mendapatkan silogisme dengan substitusi aljabar: yang terakhir diperlukan manipulasi simbol subclass ("v").

Hukum De Morgan
Hal menarik terjadi, saat satu cacat dalam teori George Boole dalam merinci inferensi relasional, seolah terjawab dan ditangani oleh De Morgan hampir secara bersamaan dengan penerbitan karya besar Boole "Analysis of Logic."  Pada Tahun 1847 Augustus De Morgan menerbitkan Logika Formal-nya; yang dikenal dengan, the Calculus of Inference, Necessary and Probable (Kalkulus perkiraan, keperluan dan kemungkinan).

Tidak seperti Boole dan kebanyakan ahli logika lainnya di Inggris, De Morgan tahu teori logika dan semantik (cabang linguistik dan logika yang berkaitan dengan makna) abad pertengahan dan juga memiliki pengetahuan tentang Benua, tradisi simbolik Leibnizian dari Lambert, Ploucquet, dan Gergonne. Sistem simbolik yang diperkenalkan De Morgan dalam karyanya dan digunakan dalam publikasi berikutnya, walaupun terlihat canggung dan tidak menunjukkan apresiasi terhadap aljabar abstrak yang dibuat oleh Boole.

De Morgan memang memperkenalkan gagasan yang sangat berpengaruh tentang "semesta wacana" yang mungkin terlihat asal-asalan dan ditetapkan yang kemudian digunakan pada Boolean. (Istilah Unversal asli Boole hanya disebut "segala sesuatu.") Pandangan ini memengaruhi semantik logis abad ke-20.

De Morgan mengkontraskan huruf besar dan kecil: huruf kapital mewakili kelas individu, sedangkan huruf kecil mewakili komplemennya relatif terhadap wacana universal, konvensi yang mungkin diungkapkan Boole dengan menulis "x = (1 - X)"; ketentuan ini menghasilkan prinsip umum: xX = 0. Periode pengindikasian negasi (proposisional), dan penggunaan tanda kurung (“ and”) masing-masing memiliki indikasi, yang didistribusikan (jika tanda kurung menghadap ke istilah terdekat) dan pada istilah yang tidak didistribusikan. Dengan demikian De Morgan akan menulis;
  • "Semua A adalah B's" sebagai "A)) B" dan 
  • "Beberapa A adalah B's" sebagai "A () B." 
Perbedaan-perbedaan paralel ini dengan akun distribusi Boole (kuantifikasi) dalam "A = vB" ( di mana A didistribusikan tetapi B tidak) dan “vA = B” (di mana kedua istilah tersebut didistribusikan). Meskipun seluruh sistemnya dikembangkan dengan kecerdasan, konsistensi, dan kecemerlangan, luar biasa-nya bahwa De Morgan tidak pernah melihat inferioritas pada notasinya terhadap hampir semua simbolisme yang ada.

Esai De Morgan lainnya tentang logika yang diterbitkan dalam serangkaian makalah dari tahun 1846 hingga 1862 (dan esai yang tidak diterbitkan tahun 1868) berjudul "On the Silogism." Seri pertama dari empat makalah menemukan jalan ke tengah Formal Logic of 1847. Seri kedua, yang diterbitkan pada tahun 1850, sangat penting dalam sejarah logika, karena menandai diskusi ekstensif pertama tentang hubungan terukur sejak akhir logika abad pertengahan dan Jung's Big Logica hamburgensis tahun 1638.

Faktanya, De Morgan mengemukakan pendapatnya , yang kemudian diulangi secara mendalam oleh Peirce dan secara implisit didukung oleh Frege, bahwa kesimpulan relasional adalah inti dari inferensi matematis dan penalaran ilmiah dari segala macam; kesimpulan relasional bukan hanya satu jenis penalaran tetapi lebih merupakan jenis penalaran deduktif yang paling penting.

Sering dikaitkan dengan De Morgan "tidak tepat dan tepat" tetapi dengan semangat yang benar merupakan pengamatan bahwa semua logika Aristotelian tidak berdaya untuk menunjukkan validitas dari kesimpulan, “Semua kuda adalah binatang; oleh karena itu, setiap kepala kuda adalah kepala seekor binatang.” Judul seri makalah ini, merupakan pengabdian De Morgan terhadap sejarah logika, keengganannya untuk membuat matematis logika secara serius, dan bahkan notasi canggungnya tampaknya dirancang untuk mewakili sebaik mungkin teori tradisional silogisme yang ditunjukkan De Morgan sebagai ahli logika yang sangat tradisional.

Logika Boolean pada Ilmu Pengetahuan Komputer 
Istilah Boolean merujuk pada nama George Boole penemu Logika Boolean atau Aljabar Boolean. Dalam hal ini computerhope.com memberikan contoh sederhana dan mudah dipahami oleh pemula mengenai implementasi Logika Boolean pada Ilmu Komputer sebagai berikut:

TRUE or FALSE (Benar atau Salah)
Dalam ilmu komputer, boolean adalah tipe data yang memiliki dua nilai yang mungkin: itu benar, atau salah. Namanya diambil dari ahli matematika dan ahli logika Inggris George Boole, yang sistem aljabar dan logisnya digunakan di semua komputer digital modern.

Contoh operator Boolean
Operator boolean, atau operator logis, terdiri dari operator seperti AND, OR, NOT, NOR, NAND, dan XOR. Operator-operator ini biasanya digunakan dengan pernyataan bersyarat dalam pemrograman, mesin pencari, algoritma, dan formula.

Di bawah ini adalah contoh bagan yang membantu menjelaskan operasi Boolean lebih jauh dengan merinci masing-masing situasi Boolean yang berbeda.

Boolean Value_1 Value_2 Explanation Results
AND Free Help Because the above example data contains both "free" and "help" the results would be TRUE. TRUE
AND Expensive Help Although the above example does have "help," it does not contain "expensive," which makes the result FALSE. FALSE
OR Free Help The above example data has both "free" and "help," but the OR Boolean only requires one or the other, which makes this TRUE. TRUE
OR Expensive Help Although "expensive" is not in the example data, it still does contain "help," which makes the TRUE. TRUE
NOT Free The above example does contain "free," which makes the result FALSE. FALSE
NOT Expensive The above example does not contain "expensive," which makes the result TRUE. TRUE
XOR Free Help The above example contains both "free" and "help," the XOR Boolean only requires one or the other, but not both, making this FALSE. FALSE
XOR Expensive Help The above example does not contain "expensive" but does contain "help," which makes this TRUE. TRUE


Sources : britannica.com computerhope.com